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\documentclass[12pt,t,aspectratio=169,mathserif]{beamer}
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\begin{document}

\title{高等代数一}
\subtitle{18-线性无关的向量组-线性相关的向量组}
%\institute{上海立信会计金融学院}
\author{{\ppr LQW}}
%\renewcommand{\today}{{\ppr \number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日} }
\date{{\ppr 2022年11月22日} }

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{内容提要 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item  线性张成的向量子空间
\item 线性相关的向量组
\item 线性无关的向量组
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{18.1. 线性张成的子空间}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item {\color{red}定义：设 $V$ 是数域 $F$ 上的一个向量空间。设 $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 是 $V$ 中的一些向量。
则由这些向量线性张成的向量子空间是指通过这些向量的线性组合得到的所有向量组成的集合，记为
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
L(\alpha_1,\cdots,\alpha_m) := \{k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m \mid k_1,\cdots,k_m\in F\}. 
\end{eqnarray*}
}
}
\item 需要证明集合 $W:=L(\alpha_1,\cdots,\alpha_m)$ 确实是一个向量子空间。
\begin{enumerate}
\item $W$ 不是一个空集。
\item 对任意 $\alpha,\beta\in W$, 有 $\alpha+\beta\in W$. 
\item 对任意 $\alpha\in W$, 对任意 $k\in F$, 有 $k\alpha\in W$. 
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{18.2. 线性张成的子空间的例子}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item 例子1：设 $\alpha,\beta\in \mathbb{R}^3$. 设不存在实数 $k$ 使得 $\alpha=k\beta$ 或 $\beta=k\alpha$. 则由这两个向量张成的向量子空间就是它们所在的平面。这个平面是立体空间的一个子集，符号记为 {\footnotesize $L(\alpha,\beta)=\{k\alpha+\ell\beta \mid k,\ell\in\mathbb{R}\}$}. 
 例如，
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
L((1,0,0),(0,1,0)) &=& \{(x,y,0) \mid x,y\in \mathbb{R}\}. \\ 
L((1,1,0),(1,-1,0)) &=& \{(x,y,0) \mid x,y\in \mathbb{R}\}. 
\end{eqnarray*}
}
%\item  注：$Oxy$ 平面中的任意两个不共线的向量，都线性张成了这个平面。

\item  例子2：一些向量张成的子空间可能等于其一部分向量张成的子空间，
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
L((1,2,0),(3,4,0)) &=& \{(x,y,0) \mid x,y\in \mathbb{R}\}. \\ 
L((1,2,0),(3,4,0),(5,6,0)) &=& \{(x,y,0) \mid x,y\in \mathbb{R}\}. 
\end{eqnarray*}
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{18.3. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  例子3：设齐次线性方程组 $AX=0$ 的一个基础解系为 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_s\}$, 即
\begin{enumerate}
\item  每个 $\alpha_i$ 都是 $AX=0$ 的解向量，即 $A\alpha_i=0, 1\le i\le s$.  
\item  $AX=0$ 的任意解向量都可以写成 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 的线性组合的形式。
\item  $AX=0$ 的每个解向量写成$\alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 的线性组合的方式是唯一的。
\end{enumerate}
则 $AX=0$ 的解空间可以写成 $L(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)$. 

\vfill 

\item  例子4：齐次线性方程 $x+y+z=0$ 的一个基础解系为 
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
\{(-1,1,0), (-1,0,1)\}. 
\end{eqnarray*}
}
这个齐次线性方程组的解空间可以写成如下形式：
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
L((-1,1,0), (-1,0,1)). 
\end{eqnarray*}
}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{18.4. 线性相关的向量组 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item {\color{red}定义：设 $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 是实向量空间 $V$ 中的 $m$ 个向量。如果存在不全为零的 $m$ 个实数 $k_1,\cdots,k_m$, 使得 
$$ k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m = \theta,$$
这里 $\theta$ 是 $V$ 中的零向量，那么称这个向量组 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_m\}$ 线性相关。
}

\item  例子5：在平面 $V=\mathbb{R}^2$ 中，两个向量 $\{\alpha_1,\alpha_2\}$ 线性相关等价于共线。
\item  验证：
\begin{enumerate}
\item  若共线，不妨设 $\alpha_2=k\alpha_1$. 则有 $k\alpha_1+(-1)\alpha_2=\theta$, 故线性相关。
\item  若线性相关，则存在不全为零的系数 $k_1,k_2$ 使得 $ k_1\alpha_1+k_2\alpha_2 = \theta$. 故共线。
\end{enumerate}

\item  例子6：在立体空间 $V=\mathbb{R}^3$ 中，三个向量 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 线性相关等价于共面。
设 $\alpha_3=k\alpha_1+m\alpha_2$, 则有 $k\alpha_1+m\alpha_2+(-1)\alpha_3=\theta$. 

%\item 这里有图像。

\end{itemize}

\end{frame}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{18.5. 线性相关的向量组的例子 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item 例子7：设 $V=\mathbb{R}^3$.  判断下述向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 是否线性相关：
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\alpha_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, 
\alpha_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}, 
\alpha_3=\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}

\item 解答：因为有下述线性组合的等式， 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
(1)\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} 
+ (3) \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} 
+(-2) \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} 
= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},
\end{eqnarray*}
}
其中系数 $1,3,-2$ 不全为零，所以向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 线性相关。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{18.6.  }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item 例子8：设 $V=\mathbb{R}^3$,  判断下述向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 是否线性相关：
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\alpha_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}, 
\alpha_2=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, 
\alpha_3=\begin{pmatrix} 1 \\ -7 \\ 9 \end{pmatrix}.  
\end{eqnarray*}
}
\item 解答：设有 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 = \theta $, 其中 $\theta$ 是零向量。
%看是否能找到不全为零的三个实数 $k_1,k_2,k_3$. 将向量方程
写成矩阵方程，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
k_1\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +k_3 \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow 
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & -7 \\ 3 & 0 & 9 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*} 
}
求解得 $(k_1,k_2,k_3)=(-3c,c,c)$, 其中 $c$ 是任意实数。
因为存在不全为零的三个系数，使得这三个向量的线性组合等于零向量，所以这个向量组是线性相关的。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{18.7.  }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item 例子9：一个向量组中若包含零向量，则必定线性相关。
例如，证明向量组 $\{\theta,\alpha_2,\alpha_3\}$ 线性相关。取系数 $1,0,0$ 即可，因为这三个系数不全为零，而且使得这个向量组的线性组合等于零向量， $$1\cdot\theta+0\cdot\alpha_2+0\cdot\alpha_3=\theta. $$ 

\item 例子10：一个向量组中若有两个向量成比例，则必定线性相关。例如，证明向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,k\alpha_2\}$ 线性相关。取系数 $0,-k,0,1$ 即可，因为这四个系数不全为零，而且使得这个向量组的线性组合等于零向量，
$$0\cdot\alpha_1+(-k)\cdot\alpha_2+0\cdot\alpha_3+1\cdot(k\alpha_2)=\theta. $$ 

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{18.8. 线性相关的等价条件 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item {\color{red}定理：下述两个条件是等价的：}
\begin{enumerate}
\item[(a)] {\color{red}向量组 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_m\}$ 线性相关。}
\item[(b)] {\color{red}向量组 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_m\}$  中某个向量可以写成其余向量的线性组合。}
\end{enumerate}

\item 例子11：两个向量的情形，向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2\}$ 线性相关等价于存在系数 $k$ 使得 
$\alpha_1 = k\alpha_2$ 或者 $\alpha_2 = k\alpha_1$ 成立。 

\item 例子12：三个向量的情形，向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 线性相关等价于存在系数 $k,m$ 使得下述之一成立：
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\alpha_1 &=& k\alpha_2+m\alpha_3. \\
\alpha_2 &=& k\alpha_1+m\alpha_3. \\
\alpha_3 &=& k\alpha_1+m\alpha_2. 
\end{eqnarray*}
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{18.9. 在三个向量的情形，证明 (a) $\Rightarrow$ (b) }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item 向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 线性相关。
\item 按线性相关的定义，存在不全为零的数 $k_1,k_2,k_3$ 使得
$$ k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 = \theta. $$

\item 对 $k_1,k_2,k_3$ 分情况讨论：
\begin{itemize}
\item[3.1.] 若 $k_1\neq 0$, 则 $\alpha_1 = (-\frac{k_2}{k_1})\alpha_2 + (-\frac{k_3}{k_1})\alpha_3$.
\item[3.2.] 若 $k_2\neq 0$, 则 $\alpha_2 = (-\frac{k_1}{k_2})\alpha_1 + (-\frac{k_3}{k_2})\alpha_3$.
\item[3.3.] 若 $k_3\neq 0$, 则 $\alpha_3 = (-\frac{k_1}{k_3})\alpha_1 + (-\frac{k_2}{k_3})\alpha_2$.
\end{itemize}

\item[*] 注：这里用到了向量空间的系数必须在一个数域范围内取值这个基本条件。也即非零数的倒数也必须能数乘到向量上。
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{18.10. 在三个向量的情形，证明 (b) $\Rightarrow$ (a)}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item 不妨设存在数 $k,m$ 使得 $\alpha_1 = k\alpha_2+m\alpha_3$. 
\item 移项得 $\alpha_1 + (-k)\alpha_2+ (-m)\alpha_3 = \theta$.
\item 系数 $1,-k,-m$ 不全为零，按定义，向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 线性相关。
\item 对条件(b)的另两种情况类似证明。
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{18.11. 线性无关的向量组 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item {\color{red}定义：一个向量组如果不是线性相关，那么就称为线性无关。}

\item {\color{red}定理：下述两个条件是等价的：}
\begin{itemize}
\item[(a)] {\color{red}向量组 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_m\}$ 线性无关。}
\item[(b)] {\color{red}如果 $k_1\alpha_1 + \cdots + k_m\alpha_m = \theta$, 那么 $k_1=0,\cdots,k_m=0$. }
\end{itemize}


\item 例子13：在平面 $V=\mathbb{R}^2$ 中，两个向量 $\{\alpha_1,\alpha_2\}$ 线性无关等价于不共线。
\item 例子14：在立体空间 $V=\mathbb{R}^3$ 中，三个向量 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 线性无关等价于不共面。
例如，下述向量组 $\Phi$ 与 $\Psi$ 都是线性无关的向量组：
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\Phi &=& \{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \}, \\ 
\Psi &=& \{ (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1) \}. 
\end{eqnarray*}
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{18.12.  }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item 例子15：若向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 线性无关，那么向量组 $\{\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\}$ 也线性无关。

\item 证明：
\begin{enumerate}
\item 设有数 $k_1,k_2,k_3$ 使得 $k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_2+\alpha_3)+k_3(\alpha_3+\alpha_1)=\theta$. 
\item 合并同类项得 $(k_1+k_3)\alpha_1 + (k_1+k_2)\alpha_2 +(k_2+k_3)\alpha_3 = \theta$. 
\item 因为向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 线性无关，所以上式的系数全为零，即 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{l}
k_1+k_3=0, \\
k_1+k_2=0, \\
k_2+k_3=0. 
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
}
\item 求解可得唯一解 $k_1=0,k_2=0,k_3=0$, 即系数只能全为零。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{18.13. 课堂练习 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item   判断下述向量组是否线性相关：
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\Phi &=& \{ (3,1,4), (2,5,1), (4,-3,7) \}, \\ 
\Psi &=& \{ (2,0,1), (0,1,-2), (1,-1,1) \}. 
\end{eqnarray*}
}
\item   设向量组 $\Phi=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 线性无关。
设另三个向量 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 由向量组 $\Phi$ 通过线性组合得到，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
\beta_1 &=& \alpha_1 + 4\alpha_2 + 7\alpha_3, \\
\beta_2 &=& 2\alpha_1 + 5\alpha_2 + 8\alpha_3, \\
\beta_3 &=& 3\alpha_1 + 6\alpha_2 + 9\alpha_3. 
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*}
}
%{\footnotesize 
%\begin{eqnarray*}
%\begin{pmatrix} \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \end{pmatrix}
%=\begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \end{pmatrix}
%\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 4&5&6 \\ 7&8&9 \end{pmatrix}.  
%\end{eqnarray*}
%}
判断向量组 $\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}$ 是否线性无关。

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{18.14. 课堂练习答案 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  向量组 $\Phi$ 线性相关，向量组 $\Psi$ 线性无关。

\item  向量组 $\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}$ 线性相关。
%证明思路：设线性组合为零向量，判断系数是否只能全为零，
%{\footnotesize 
%\begin{eqnarray*}
%\begin{pmatrix} \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \end{pmatrix}
%\begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \end{pmatrix}
%= \theta 
%\Rightarrow
%\begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \end{pmatrix}
%=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. 
%\end{eqnarray*}
%}



\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}


